阿拉丁神灯？——对博友问题的思考

      《灯背后的奥秘》是校讯通博友“崔丽君”在2009年5月23日发表的一篇文章，（http://blog.xxt.cn/showSingleArticle.action?artId=1160146）文中提到这样一个问题：

      那是一个晚上，是爸爸来接我的。回家后，由于天色已晚，爸爸像往常一样把灯打开，突然说道：“你们不是刚学了‘因数与倍数’吗？那就让我来给你出道题吧。”说着，爸爸就开始出题啦。“在一个山洞里，有一万盏灯分别为一到一万号，都是熄着的。这时，有一万个人分别是一到一万号，这些人依次过山洞，他们如果遇到自己整数倍编号数的灯，就要拉一下开关。请问，如果所有人都走过去后，那么会有多少盏灯亮着，会有多少盏灯熄着呢？”

                                           素材来源：河南省济源市东园学校 李姝萌

     这道题对于计算机专业的同学来说，应该不难，几句程序即可在电脑上算出：结果是有100盏灯亮着，9900盏灯灭着。

     原文作者在文中也给出了这个答案，并给出了思路，但是描述的不是很清楚，对于绝大多数博友来说，还是无法理解的，甚至是一些大学生朋友！现在我就这道题说一些自己的想法，思想还是跟原来的作者一样，只是阐述的清楚一些，希望大家能理解这道问题，爱上数学！

     首先，对于数学学得不错的人，可以这样考虑：每盏灯的编号有偶数个因子时，它最后是关着的，有奇数个因子时，它最后是亮着的。而只有平方数才会有奇数个因子，100×100=10000，故只有100个平方数，有100盏灯亮着。

     其次，详细解释：初看这道题，感觉无从下手，而且共有一万盏灯和一万个人，穷举法是没办法做了！但是我们可以找一些特殊值来了解一下整个题目描述的过程：

     我们从灯的角度来考虑：（为什么从灯考虑，而不是从人来考虑呢？）

     第一盏：第一个人拉一下开关——亮了，以后的人均不是1的因子，不会有人再来拉第一盏灯了，故第一盏最后亮着。

     第二盏：第一个人拉一下开关——亮了，第二个人也拉了一下，灭了！以后的人均不是2的因子，故第二盏灯最后是灭的！

     第三盏：第一个人拉一下开关——亮了，第二个人不是3的因子，故不拉，第三个人拉了一下，又灭了！以后的人均不是3的因子，故第三盏灯最后是灭的！

     第四盏：第一个人拉一下开关——亮了，第二个人也拉了一下，灭了！第三个人不是4的因子，故不拉，第四个人拉了一下，又亮了！以后的人均不是4的因子，故第四盏灯最后是亮的！

     。。。。。。

     总结一下规律：每盏灯有偶数个人来拉时，最后是灭的，有奇数个人来拉时，最后是亮着的；转换成数学语言：每盏灯的编号有偶数个因子时，它最后是关着的，有奇数个因子时，它最后是亮着的。

     下面我们就来看一下什么样的数才有奇数个因子。

     1=1×1                一个因子 1                          

     2=1×2                两个因子 1，2

     3=1×3                两个因子 1，3

     4=1×4，2×2          三个因子 1，2，4

     5=1×5                两个因子 1，5

     6=1×6，2×3          四个因子 1，2，3，6

     7=1×7                两个因子 1，7

     8=1×8，2×4          四个因子 1，2，4，8

     9=1×9，3×3          三个因子 1，3，9

     。。。。。。

你看出其中的规律了吗？由于因子总是成对出现的（A=B×C，若B、C不相等），除了平方数之外（如1，4，9，16，25......）。也就是说只有平方数才会有奇数个因子。我们只要找到1000以内有多少个平方数就可以了！

而100×100=10000，即1-100的平方均在10000以内，共有100个平方数，就是共有100盏灯的标号有奇数个因子，也就是最后共有100盏灯是亮着的！

      亮着的灯的序号分别是1，4，9，16，25，36，49......，8811，10000.

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