证明成比例线段的辅助线作法研究

一、定理依据

证明成比例线段的定理依据主要有平行线分线段成比例定理及其推论，其中推论“平行线三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”比较常用（下面简称推论定理）。条件结论如下:

DE∥BC AD/BD=AE/CE

BD/AB=CE/AE

AD=BD

DE∥BC且 DE=1/2BC

AE=CE

实际上我们可以用推论定理来证明三角形的中位线定理,如下：

AD=BD

AD/AB=AE/AC=1/2 DE∥BC DE/BC=AD/AB=1/2

AE=CE

因此，可以这样认为，三角形的中位线定理 是推论定理的特殊情况，即分点D、E恰好为AB、AC的中点。

两个定理在初中几何的计算和证明都有重要的应用，三角形中位线定理用于证明线段的倍分或平行，推论定理用于证明等比代换或证三角形相似，但在应用中大多需要添加辅助线，构造出定理图形。

二、三角形的中位线的辅助线作法

通过下面例子来总结辅助线作法：

正方形ABCD中，AC、BD交于O，AH垂直∠DBC的平分线于E，交BC于H，交BD于G，求证；CH=2OG（给出三种分析方法）

（1）作出CH的一半证与OG相等。可过AC的中点作OF∥CH交AH于F，则OF=1/2CH，再证：OG=OF

（2）作出OG的2倍，证与CH相等。可过点C作CF∥BD交AH延长线于F，则CF=2OG，再证：CH=CF

（3）二等分CH，直接找到CH的一半，证与OG相等。可过O作OF∥AH交CH于F，则CH=2HF，再证：HF=OG

（证明过程略）

以上三种方法都是充分利用已知条件，构造出三角形的中位线的图形，有三种构造方法：

（1）确定第三边，过一边中点作出对应的中位线；（如图1）

（2）确定中位线，过端点作出对应的第三边；（如图2）

（3）确定两边的中点，直接作出三角形的中位线；（如图3）

既然三角形的中位线定理是推论定理 的特殊情况，根据特殊与一般的关系，可以联想到推论定理的辅助线作法。

三、推论定理的辅助线作法

由此及彼，可得到如下方法：

（1）确定第三边，过分点作出相对应的平行线；

（2）确定分点所在的线段，过端点作出相对应的平行线。

如下例：

如图，BD=CE 求证：AC·EF=AB·DF

分析：由比例的基本性质，结论可转化为EF/DF=AB/AC ，把E当作线段DF的分点,D、F为端点。根据上述思想,有两种辅助线作法：

（1）过D作DH∥CE交BC于H，即作出平行的第三边，再作等比代换；（图4）

（2）过E作EH∥BD交BC于H，即作出分点所在的平行线段，再作等比代换；（图5）

证明如下：

证法一、∵ DH ∥ AC 证法二、∵BD∥HE

∴EF/DF=CE/DF AB/AC=BD/DH ∴EF/DF=EH/BD AB/AC=EH/CE

∵BD=CE ∴EF/DF=AB/AC ∵BD=CE ∴EF/DF=AB/AC

即AC·EF=AB·DF 即AC·EF=AB·DF

上面两种辅助线作法也可以这样理解，把D、E作为AB、AC的两个分点，DH、EH就可以看作过分点作端点所在第三边的平行线，其实质是相同的，只不过同样的线处在了不同的三角形中。

四、辅助线作法应用

由上述解题思想认真分析下例，看有几种证法：

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB=5，tgA=3/4，D是AB延长线上一点，BD=3。有一动点P，由C沿CA移动，PD与BC相交于E。设PC=x，S△CPE=y，求x与y之间的函数关系式。

分析：欲求y与x的关系式，关键是能用x表示Rt△CPE的直角边CE的长，结合已知条件，转化为比例线段的计算。由上述辅助线作法，有如下六种方法供参考：（解略）

五、作法研究的指导意义

上述分析，在有关比例线段的教学过程中具有重要的指导意义。

首先，明确二者知识间的关系，即特殊与一般、个性与共性的关系。在教学内容的处理上分清主次，把握联系，在传授知识时可以做到有条有理，使学生对这部分知识能够深入的认知和理解。

其次，在教学过程中，可以引入已经学过的三角形中位线定理 的知识作很好的铺垫，在学生已有知识的基础上，进行由浅入深，由易到难，过渡到此项内容的教学，使这部分难点知识很顺利地被接受和内化。

再有，从个性扩展到共性，从特殊过渡到一般，符合人们的认识规律，即由实践到认识，从认识到实践，循序渐进的认识事物。在实际教学中，根据知识的内在联系，灵活的调整教学内容，符合学生的认知规律，将会有好的教学效果。

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