上午第三节是我们数学组一天中最热闹的时候了，备课时大家讨论问题，很是热烈。今天上午我们研究到最后一道题时又热闹起来了。
　　题目是：有八个等圆，把七个圆固定，第八个圆紧贴另六个圆无滑动滚动，当它绕这六个圆一周，本身自转多少圈？
　　
　　一看到这道题，曹老师来劲儿了：又是这样的题，过去见过类似的，是一个大圆套着一个小圆，问小圆转多少圈。这道题啊，容易错！
　　我的理解是：当这个动圆绕其中一个定圆转时，它的圆心转了120°，绕六个圆转一周就是6×120°=720°，也就是转了两圈。
　　孙老师认为不对，他认为圆心转的度数不等于这个圆转的圈数。这个圆转的圈数应该等于这个动圆总共走的路程与它周长的比值，也就是说求出圆心经过的路径长，除以圆的周长，就是圈数了。如果设圆半径是1，那么动圆的圆心经过的路径是6个半径为2的120°扇形的弧长，也就相当于2个半径为2的圆周长，所以总路程是2×2π×2=8π，而圆的周长是2π×1=2π，相除以后等于4，也就是四圈。
　　结果不一样，那肯定是我跟孙老师有一个人错了。大家开始你一言我一语的说开了。再一推敲，我发现，我只计算了动圆圆心相对于定圆圆心运动的角度，而忽略了动圆自身还在旋转，所以少算了2圈。原来如此！找到错误原因后，大家一致赞同孙老师的解法。
　　曹老师意犹未尽，笑着说，再上网查查我说的那道类似的题！顺便研究一下！找了一会儿，果然找到了曹老师说的那道题：有一个半径为1厘米的小铁环，沿着半径为4厘米的大铁环的内侧作无滑动滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原来的位置时，小铁环自转了几圈？
　　
　　如果不考虑小铁环的自转，就会像我刚才一样出错。用大铁环的周长除以小铁环的周长，一共滚了8π÷2π＝4圈。其实小铁环在沿大铁环内侧作逆时针滚动的同时它本身也在作顺时针滚动，当回到原来的位置时，小铁环正好作顺时针滚动一圈，所以小铁环自转了4－1＝3圈。
　　而按孙老师的思路，只需要用小铁环圆心经过的路程÷小铁环的周长，即6π÷2π=3圈。就可以很快求出正确结果了。
　　我们还找到一道类似的：正方形的边长是1.5π，圆环的半径是1，当圆环绕正方形无滑动地滚动一周，又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？
　　
　　而这道题就要考虑圆环滚动到正方形的每个角上时，都要零距离滚动旋转90°，经过正方形的四个角一共要旋转360°，正好转一圈，所以这个圆环转了1.5π×4÷（2π×1）＋1＝4圈。
　　有了刚才的讨论，这两道题我们很快就解答出来了。看了这几道题后，我们对课件上的“压轴题”有了更深的理解。最后大家决定：明天上课时先举走直线的例子，再讲这个，让学生先思考议论，再总结方法：动圆自转的圈数＝圆心经过的路程÷周长。就这样今天的备课圆满结束了。
　　常跟学生说，要多思考，多总结，才能开阔思路。老师更应该如此，不只要思考、总结，更要勤于“寻找”，找同类型的题，这样才能做到举一反三，才能对一类题有深入见解，才能总结出解这类题的方法。平时备课时组里都是这样，遇到跟课本相关的有意思的题，总喜欢研究到底，不管最后有没有给学生讲，但至少是自己提高了。而这也是我在这个团队里能够快速成长的原因。